読者です 読者をやめる 読者になる 読者になる

メモ的ななにか

@Maleic1618

服部位相幾何§3.4の冒頭部分の説明

数学

先日,位相幾何学(服部)のゼミで小泉ふゅーりーさん(@koizumi_fifty)に説明をしてもらったのでメモしておきます.間違いがあれば,私のミスですので@maleic1618に伝えていただけるとありがたいです.

 

Claim.

XをCW複体とし,そのn胞体の特性写像とする.が中への同相写像の時,結合定数は±1か0である.

 

Proof.

をn胞体,をn-1胞体全てとします.として考えます. 

からへの写像とみると,次の図式が可換になります.

 

 

 さらに次の図式を考えます.

 

をつぶす写像をつぶす写像とします.は図式を可換にするようにとります. 

ここで,と分解します.

(1つめはの上にかぶせる写像,2つめはの下半分をつぶす写像です.)

最初の部分が切除同型,2つ目は可縮な部分をつぶす写像で同型になるので,は同型になります. 

また,でつぶれているところがでつぶれているのでは同型になります.

さらにはn-1次元球の境界をまとめてつぶしたものなので,を1点でつなげたもの(以降と書きます.*1 )と同相になります.

さらにの添え字が以外のをつぶす写像とします.

 

さて,ここで

 

を合成した写像とすると,によって結合係数が決まります.

 

全射でないとき*2をとるとが可縮なので,となります.よっては0射になります.

 

全射の時,となるように取ると,の中へ同相で写されるようなの近傍が取れます.このときの中への同相写像になります.

この時,次の可換図式を考えます.

 1行目から2行目への写像はどちらも可縮な部分をつぶすだけなので同型.

3行目から2行目への写像は切除同型.

が中への同相なので同型になります.よっては同型写像になるので,結合定数は±1になります.

 

証明終わり.

*1:1点和,Wedge和と呼ばれます.しかしはWedgeじゃないという…

*2:この時で潰した先の点への定値写像となります.