読者です 読者をやめる 読者になる 読者になる

メモ的ななにか

@Maleic1618

Forsterの4.23の部分について

数学

Forster『Lectures on Riemann Surface』のDef.4.23

Prop.

X,Y:Riemann面,f:X→Yをconti., proper, non-const.とする.またAをfの分岐点全体,B=f(A)とする.この時BはYからの相対位相を考えるとdiscreteになる.

proof.

Bが集積点を持たないことを示せればよい.背理法を用いて示す.

Bが集積点を持つと仮定し,を集積点,をyに収束するB\{y}の点列,となるようにとる.この時,YはHausdorffで,はその任意の点列に対して,常に収束する部分列を持つことからコンパクトになる.fはproperだから,逆像はコンパクトになる.よって部分列に取り換えることでは最初から収束列であるとしてよい.そこでとおく.

Aはdiscreteだったから,あるが存在して,となる.よってのときとなるが,これはの取り方に反する.よってBは集積点を持たず,discreteな位相がYから誘導される.

(証明終わり)