勉強したことの話 - メモ的ななにか

この記事はMathematics Advent Calender の25日目の記事です．

最近勉強したことのまとめ的なものになります．1日目は割と気合いれて書いたのですが，今日の記事は大したことを書けなさそうです，うっひょー．とりあえず以下，最近勉強したことについて書きます．

関数論などを扱ううちに連接層というものが出てきます．次のようなものです．

Def. $O_X$ を環の層とする． $O_X$ -加群の層 ${\cal S}$ は以下の性質を満たすとき，連接層という．

${\cal S}$ は $O_X$ -加群の層として局所有限である．つまり，任意の $x \in X$ に対し，近傍 $U\ni x$ と有限個の切断 $\sigma _i$ があって，
${\cal S}\mid_U = \sum_i O_X \mid_U \cdot \sigma _i$ が成立する．
任意の関係層*1は局所有限である．

また，上の定義の2の「有限個の(切断)」の条件を外した時，準連接層と言います．

局所有限というのは，各点での茎を考えたときに特異なものがない*2，または各点において局所的に一様になっている(?)とイメージすればいいと思います(任意の点に対して，その近傍上の茎が同じ関数の芽で生成されている，と言われれば分かりやすいと思います)．例えば局所有限でない層の例として次のようなものがあります．

Ex. ${\cal O}_n$ は $C^n$ 上の正則関数がなす層， $\underline{f}_a$ でaでの芽を表すとします． $X=\{(z,w) \in C^2; z=w \}$ , $B_i=\{(z,w) \in C^2 ; \mid z \mid ^2 + \mid w \mid ^2 < r_i \}$ , $X_0=X \cap B_2 \backslash B_1$ とおく．この時，開集合 $U \subset B_2$ 上の正則関数fで， $\frac{f(z,w)}{z-w}$ が $U \cap X_0$ 上で正則になるもの全体を考え，それがなす層 ${\cal S}$ を考える．この時

${\cal S}_a= \left \{ \begin{array}{ll} {\cal O}_{n,a}\cdot \underline{(z-w)}_a & a \in X_0 \\ {\cal O}_{n,a} & a \in B_2 \backslash X_0 \\ \end{array} \right.$

となる．これは局所有限でない．

これは $a \in X_0 \cap \partial B_1$ において，どんな近傍を取っても $X_0$ と交わってしまい，そこで茎が他と異なっているため( $X_0$ での茎の関数は $X_0$ 上で0を取るものしかない)，局所有限にはなりません．

ちなみに連接層の例としては ${\cal O}_n$ (= $C^n$ 上の正則関数がなす層)があります*3．確かに特異点とかなさそうですよね．

…と，いうことで連接層というのはそんな感じのｲｲ性質を持ったものと扱ってみればいいと思います．関係層の局所有限性は…単なる代数的な制約とみればいいのでしょうか．よく分からないです(ﾃﾍｯ連接層の話はここでおしまい．

さて，では関数論でなぜ層が出てくるのか？

例えばCousin I問題*4を考えましょう．これは簡単に言うと局所的に有理型関数を与えたときに，それと同じような性質を持つ，全域で定義された有理型関数を構成できるか？というものです．もう25日が終わってしまうので詳しい説明は省きますが．これは層に対しCechコホモロジーというものを考えると，その1次の部分が消えているか？という問題に置き換えることが出来ます．同様にCousin II問題*5も層のコホモロジーを考えることでいくらか分かります．

やはり局所的な関数と大域的な関数の関係を調べるには層を使うと楽なんですね(飛躍)

めちゃくちゃ適当な説明ですみませんが，私の記事はこれで終わりです．

Advent Calenderに参加してくれた皆さんありがとうございました！メリークリスマス！

*1:開集合 $U \subset X$ とその上の有限個の切断 $\sigma _i (1 \leq i \leq q)$ を任意にとり， $\phi :(O_X\mid _U)^q \to {\cal S} \mid_U$ を $(a_1, \cdots ,a_q) \in (O_X)_x$ に対し