Forsterの4.23の部分について - メモ的ななにか

Forster『Lectures on Riemann Surface』のDef.4.23

Prop.

X,Y:Riemann面，f:X→Yをconti., proper, non-const.とする．またAをfの分岐点全体，B=f(A)とする．この時BはYからの相対位相を考えるとdiscreteになる．

proof.

Bが集積点を持たないことを示せればよい．背理法を用いて示す．

Bが集積点を持つと仮定し， $y \in B$ を集積点， $\{ y_n \}_{n \in \mathbb{N}}$ をyに収束するB\{y}の点列， $x_n \in A$ を $f(x_n)=y_n$ となるようにとる．この時，YはHausdorffで， $\overline{\{ y_n \}_{n \in \mathbb{N}}}=\{ y_n \}_{n \in \mathbb{N}} \cup \{ y \}$ はその任意の点列に対して，常に収束する部分列を持つことからコンパクトになる．fはproperだから，逆像 $f^{-1}(\overline{\{ y_n \}_{n \in \mathbb{N}}})$ はコンパクトになる．よって部分列に取り換えることで $\{ x_n \}_{n \in \mathbb{N}$ は最初から収束列であるとしてよい．そこで $x:= lim x_n$ とおく．

Aはdiscreteだったから，ある $N \in \mathbb{N}$ が存在して， $n \geq N \Rightarrow x_n = x$ となる．よって $n \geq N$ のとき $y_n =f(x_n) = f(x) = y$ となるが，これは $y_n$ の取り方に反する．よってBは集積点を持たず，discreteな位相がYから誘導される．

(証明終わり)